МЕНЮ
Гостевая книга
Форум
УЧЕБНИК ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
Параграф 1: Что такое высказывания?
Объектом изучения математической логики являются высказывания. Я
думаю все понимают, что такое высказывание. Например, высказываниями
являются фразы "Курган - город в Курганской области", "Саратов это
город с числом жителей более миллиона" или "люди бессмертны".
Сразу же возникают два вопроса.
Первый: Любое ли предложение русского языка будет высказыванием?
Оказывается, нет. Высказыванием будет такое предложение, которое
может быть либо "истинно", либо "ложно". Причем это не должно ни от
кого зависеть. Например фраза "2+2=4" истинна. А фраза "2+2=5" ложна,
причем мы ничего не можем с этим поделать. А вот фраза
"завтра я пойду на футбол" - не является высказыванием. Потому что
истинна она или ложна мы заранее знать не можем.
Второй: И что же в высказываниях нужно изучать? Вот эту
самую "истинность" и "ложность" мы и будем изучать. А зачем? Чтобы
оставить из всех высказываний только истинные. Согласитесь - в основном
люди ищут истину. И логика как раз и изучает - как из всех высказываний
отобрать только истинные.
Параграф 2: Как мы их будем обозначать
Высказывания обозначаются английскими большими буквами. Например A,B,C, и так далее. Истинность или ложность высказывания обозначают тремя способами:
Цифрами. 0 - ложное высказывание, 1 - истинное высказывание
Русскими буквами. Л - ложное высказывание, И - истинное высказывание
Английскими буквами. F - ложное высказывание, T - истинное высказывание
Почему именно так? Русские буквы - понятно - И(истинно) и Л(ложно). По английски все примерно так же - T(true - истинно) и F(false - ложно). А вот зачем обозначать нуликами и единичками? Это очень помогает при составлении алгоритмов и программ на компьютере. Пока это нам не нужно, но важно запомнить такой способ записи истинности высказываний.
Параграф 3: Отрицание высказываний
Если у нас есть какое-то высказывание A, то мы всегда можем получить
его отрицание. Отрицание это тоже высказывание. Это такое высказывание,
которое будет истинно, если исходное высказывание ложно, и наоборот -
оно будет ложно, если исходное высказывание истинно.
Например высказывание "2+2 равно 4". Оно истинно. А его отрицанием
будет "2+2 НЕ равно 4". Оно ложно. Или высказывание "2+2 больше чем 5".
Оно ложно. А его отрицанием будет высказывание "2+2 меньше или равно 5".
Оно истинно.
Так как при отрицании часто используется частица "НЕ" (как у нас в
первом случае - НЕ РАВНО), то эта операция (отрицание высказывания)
иногда называется "НЕ".
Обозначается отрицание либо крышечкой над высказыванием, либо специальным
значком перед ним. Например с крышечкой - вот так
Параграф 4: Коньюнкция высказываний
Коньюнкцией двух высказываний называется третье высказывание. Это
третье высказывание истинно тогда, когда истинно И первое И второе
высказывание. Во всех остальных случаях (первое высказывание ложно,
второе высказывание ложно - или оба ложны) - их коньюнкция тоже
ложна. Она обозначается либо
либо
. Читается
она "A и B". Союз "И" означает что для истинности высказывания
должны быть истинно как высказывание А, так И высказывание B.
Например фраза "2+2=5 И все люди смертны" ложна, так как
в ней использована коньюнкция (союз И), однако первое высказывание
(2+2=5) ложно. Следовательно и вся коньюнкция тоже ложна.
Параграф 5: Дизъюнкция высказываний
Дизъюнкцией двух высказываний называется третье высказывание. Это
третье высказывание истинно тогда, когда истинно ИЛИ первое ИЛИ второе
высказывание ИЛИ оба высказывания сразу. В случае же, если оба
высказывания ложны - их дизъюнкция тоже ложна. Она обозначается либо
либо
. Читается
она "A или B". Союз "ИЛИ" означает что для истинности высказывания
должны быть истинно ИЛИ высказывание А, ИЛИ высказывание B.
Например фраза "2+2=5 ИЛИ все люди смертны" истинны, так как
второе высказывание истинное, следовательно и вся дизъюнкция истинна.