Сайт-визитка

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Довольно часто меня просят помочь в решении какой-либо задачи. И довольно часто по аське или майл-агенту. Но формулы по ним не передашь. Вот я и буду публиковать решения здесь. Авось кому поможет:

$\int{cos^2xsin^5xdx}=-\int{cos^2xsin^4xd(cosx)}=-\int{cos^2x(1-cos^2x)^2d(cosx)}=$
$=-\int{cos^2x(1-2cos^2x+cos^4x)d(cosx)}=-\int{cos^2x-2cos^4x+cos^6x)d(cosx)}=$
$=\int{2cos^4x-cos^6x-cos^2x)d(cosx)}=\frac{2}{5}cos^5x-\frac{1}{7}cos^7x-\frac{1}{3}cos^3x+C$
$\int{cos(2x+\frac{\pi}{2})sin(x+\frac{\pi}{2})dx}=-\int{cos2xsinxdx}=\int{(cos^2x-sin^2x)dcosx}=$
$=\int{(cos^2x-1+cos^2x)dcosx}=\int{(2cos^2x-1)dcosx}=$
$=\frac{2}{3}cos^3x-cosx+C$
$\int{\frac{(2x-12)dx}{x^2+4x+13}}=\int{\frac{(2x-12)dx}{x^2+4x+4+9}}=\int{\frac{(2x-12)dx}{(x+2)^2+9}}=...$
Пусть y=x+2, x=y-2, dx=dy
$...=\int{\frac{(2y-16)dx}{y^2+9}}=\int{\frac{2ydy}{y^2+9}}-\int{\frac{16dy}{y^2+9}}=\int{\frac{d(y^2+9)}{y^2+9}}-\frac{16}{3}arctg\frac{1}{3}y=$
$=ln|y^2+9|-\frac{16}{3}arctg{1}{3}y+C=ln|(x^2+4x+13|-\frac{16}{3}arctg\frac{1}{3}(x+2)+C$
$\int_0^{\pi/2}{cos^5xsin2xdx}=2\int_0^{\pi/2}{cos^6xsinxdx}=-2\int_0^{\pi/2}{cos^6xdcosx}=$
$=-\frac{2}{7}cos^7x|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{2}{7}$
$\int_1^{16}{\frac{1+\sqrt[4]{x}}{x+\sqrt{x}}dx}=...$
Пусть y=корень 4 степени из x, x=y^4, dx=4y^3
$...=\int_1^{2}{\frac{1+y}{y^4+y^2}*4y^3dy}=4\int_1^{2}{\frac{y^2+y}{y^2+1}dy}=4\int_1^2{\frac{y^2+1+y-1}{y^2+1}dy}=$
$=4\int_1^2{dy}+4\int_1^2{\frac{y-1}{y^2+1}dy}=4+4\int_1^2{\frac{y}{y^2+1}dy-4\int_1^2{\frac{1}{y^2+1}dy=$
$=4+4\int_1^2{\frac{d(y^2+1)}{y^2+1}dy-4arctgy|_1^2=4+4ln|y^2+1||_1^2-4arctg2+4arctg1=$
$=4+4ln5-4ln2-4argtg2+4arctg1=6,378$
$\int_1^{\infty}{xe^{-x}}=|\begin{array}{cccc}u=x&du=dx\\dv=e^{-x}dx&v=-e^{-x}\end{array}|=-xe^{-x}|_1^\infty+\int_1^\infty{e^{-x}dx}=$
$=\frac{1}{e}-e^{-x}|_1^\infty=\frac{2}{e}$
$\int_0^{+\infty}{\frac{arctgx}{1+x^2}dx}=\int_0^{+\infty}{arctgxd(arctgx)}=\frac{1}{2}arctg^2x|_0^{+\infty}=$
$=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-0)=\frac{\pi}{4}$
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=3x-x^2, x^2=2y (y=x^2/2)

$S=\int_0^2{(3x-x^2)dx}-\int_0^2{\frac{1}{2}x^2dx}=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{6}x^3|_0^2=6-\frac{8}{3}-\frac{8}{6}=2$
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=cosx, x изменяется от 0 до pi/4

$S=\int_0^{\frac{\pi}{4}}{cosx-sinx}=sinx+cosx|_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-0-1=\sqrt{2}-1=0,414$
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=4x-x^2+1 и касательными к параболе в точках x=0 и x=3
Найдем формулы касательных
$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
$y'=(4x-x^2+1)'=4-2x$
$y_1=1+4x$
$y_2=4*3-3^2+1+(4-2*3)(x-3)=4-2(x-3)=4-2x+6=-2x+10$

$S=\int_0^{1,5}{(1+4x)dx}+\int_{1,5}^3{(-2x+10)dx}-\int_0^3{(4x-x^2+1)dx}=$
$=(x+2x^2)|_0^{1,5}-(x^2-10x)|_{1,5}^3-(2x^2-\frac{1}{3}x^3+x)|_0^3)=$
$=1,5+2*2,25-9+30+2,25-15-18+9-3=2,25$

Хостинг от uCoz

МЕНЮ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ