Сайт-визитка

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Довольно часто меня просят помочь в решении какой-либо задачи. И довольно часто по аське или майл-агенту. Но формулы по ним не передашь. Вот я и буду публиковать решения здесь. Авось кому поможет:

$\int{\frac{(x+2)^2}{x\sqrt{x}}dx}=...$
Обозначим y=корень их x, x=y^2, dx=2ydy
$...=\int{\frac{(y^2+2)^2}{y^2*y}*2ydy=2\int{\frac{y^4+4y^2+4}{y^2}dy}=2\int{(y^2+4+\frac{4}{y^2})dy}=$
$=\frac{2y^3}{3}+8y-\frac{8}{y}+C=\frac{2(\sqrt{x})^3}{3}+8\sqrt{x}-\frac{8}{\sqrt{x}}$
$\int{(\frac{2}{4+x^2}+\frac{4}{\sqrt{4-x^2}})dx=\int{\frac{2}{4+x^2}}dx+\int{\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}dx=...}$
$\int{\frac{2}{4+x^2}}dx=arctg\frac{x}{2}}$
$\int{\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}}dx=...$
Обозначим x=2siny, x^2=4sin^2y, dx=2cosydy, y=arcsin(x/2)
$...=\int{\frac{4}{\sqrt{4-4sin^2y}}*2cosydy}=\int{\frac{8cosy}{\sqrt{4cos^2y}}dy}=$
$=\int{\frac{8cosy}{2cosy}dy}=\int4dy=4y=4arcsin\frac{x}{2}$
$...=arctg\frac{x}{2}+4arcsin\frac{x}{2}+C$
$\int{(cos\frac{x}{2}+\frac{3}{5x+1})dx}=2sin\frac{x}{2}+\frac{3}{5}\int{\frac{d(5x+1)}{5x+1}}=2sin\frac{x}{2}+\frac{3}{5}ln|5x+1|+C$
$\int{\frac{dx}{(2x+3)^2}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d(2x+3)}{(2x+3)^2}}=-\frac{1}{2(2x+3)}+C=-\frac{1}{4x+6}+C$
$\int{\frac{x^2dx}{1+x^6}}=\frac{1}{3}\int{\frac{d(x^3)}{1+x^6}}=...$
Обозначим y=x^3, d(x^3)=dy
$...=\frac{1}{3}\int{\frac{dy}{1+y^2}}=\frac{1}{3}arctgy+C=\frac{1}{3}arctgx^3+C$
$\int{x*\sqrt{x^2+2}dx}=\frac{1}{2}\int{2x*\sqrt{x^2+2}dx}=\frac{1}{2}\int{\sqrt{x^2+2}d(x^2+2)=}$
$\frac{1}{2}\int{(x^2+2)^{\frac{1}{2}}d(x^2+2)}=\frac{1}{2}\frac{(x^2+2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}}+C=\frac{(x^2+2)^{\frac{3}{2}}}{3}+C$
$\int{\frac{dx}{x*\sqrt{1-lnx}}}=\int{\frac{d(lnx)}{\sqrt{1-lnx}}=-\int{\frac{d(1-lnx)}{\sqrt{1-lnx}}}=-\int{(1-lnx)^{-\frac{1}{2}}d(1-lnx)}$
$=-\frac{(1-lnx)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=-2\sqrt{1-lnx}+C$
$\int{(lnx)^2}dx=...$
Обозначим y=lnx, x=e^y, dx=e^ydy
$...=\int{y^2e^ydy}=|\begin{array}{cccc}u=y^2&du=2ydy\\dv=e^ydy&v=e^y\end{array}|=y^2e^y-2\int{ye^ydy}=$
$=y^2e^y-2|\begin{array}{cccc}u=y&du=dy\\dv=e^ydy&v=e^y\end{array}|=y^2e^y-2ye^y+2\int{e^ydy}=$
$=y^2e^y-2ye^y+2e^y+C=(lnx)^2e^{lnx}-2lnxe^{lnx}+2e^{lnx}+C=$
$=x(lnx)^2-2xlnx+2x+C$
$\int{xsin2xdx}=\frac{1}{2}\int{2xsin2xdx}...$
Обозначим y=2x, x=1/2y, dx=1/2dy
$...=\frac{1}{4}\int{ysinydy}=\frac{1}{4}|\begin{array}{cccc}u=y&du=dy\\dv=sinydy&v=-cosy\end{array}|=$
$=-\frac{1}{4}ycosy+\frac{1}{4}\int{cosydy}=-\frac{1}{4}ycosy+\frac{1}{4}siny+C=$
$=-\frac{1}{2}xcos2x+\frac{1}{4}sin2x+C$
$\int{cos^24xdx}=\frac{1}{4}\int{cos^24xd(4x)}=...$
Обозначим y=4x, x=1/4y, dx=1/4dy
$...=\frac{1}{4}\int{cos^2ydy}=\frac{1}{8}\int{(1+cos2y)dy}=\frac{1}{8}y+\frac{1}{16}sin2y+C=$
$=\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}sin8x+C$
$\int{sin^2xcos^3xdx}=\int{sin^2xcos^2xdsinx}=\int{sin^2x(1-sin^2x)dsinx}=$
$=\int{(sin^2x-sin^4x)dsinx}=\frac{sin^3x}{3}-\frac{sin^5x}{5}+C$
$\int{\frac{xdx}{\sqrt{x^2+4x+5}}}=\int{\frac{xdx}{\sqrt{(x+2)^2+1}}}=...$
Обозначим y=x+2, x=y-2, dx=dy
$...=\int{\frac{(y-2)dy}{\sqrt{y^2+1}}}=\int{\frac{ydy}{\sqrt{y^2+1}}}-\int{\frac{2dy}{\sqrt{y^2+1}}}=...$
$\int{\frac{ydy}{\sqrt{y^2+1}}}=\frac{1}{2}\int{\frac{d(y^2+1)}{\sqrt{y^2+1}}}=\sqrt{y^2+1}$
$\int{\frac{2}{\sqrt{y^2+1}}}=2ln|x+\sqrt{y^2+1}|$
$...=\sqrt{y^2+1}-2ln|x+\sqrt{y^2+1}|+C=$
$=\sqrt{x^2+4x+5}-2ln|x+2+\sqrt{x^2+4x+5}|+C$
$\int_1^{e^2}{\frac{ln^2x}{x}}=\int_1^{e^2}{ln^2xdlnx}=\frac{ln^3x}{3}|_1^{e^2}=\frac{1}{3}(2^3-0)=\frac{8}{3}$
$\int_0^2{x3^xdx}=...$
Обозначим y=3^x, lny=xln3, x=lny/ln3, dx=1/ln3*ydy
$\int_1^8{\frac{lny}{ln3}*y*\frac{1}{yln3}dy}=\frac{1}{ln^23}\int_1^8{lnydy}=\frac{1}{ln^23}(ylny-y)|_1^8=\frac{8*ln8-8-1*ln1+ln1}{ln^23}=$
$=\frac{8*ln8-8}{ln^23}=7,155$
$\int_0^\infty{x*e^{-x^2}dx}=-\frac{1}{2}\int_0^\infty{e^{-x^2}d(-x^2)}=-\frac{1}{2}*e^{-x^2}|_0^\infty=-\frac{1}{2}(0-1)=\frac{1}{2}$
$\int_2^\infty{\frac{dx}{4+x^2}=\frac{1}{2}arctg\frac{x}{2}|_2^\infty=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{8}}$
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями y=12+6x-x^2 и y=x^2-2x+2
$S=\int_{-1}^5{(12+6x-x^2)dx}-\int_{-1}^5{(x^2-2x+2)dx}=$
$=(12x+3x^2-\frac{1}{3}x^3)|_{-1}^5-(\frac{1}{3}x^3-x^2+2x)|_{-1}^5)=$
$=(12x+3x^2-\frac{1}{3}x^3)|_{-1}^5+(-\frac{1}{3}x^3+x^2-2x)|_{-1}^5)=$
$=60+45-\frac{125}{3}+12-3+\frac{1}{3}-\frac{125}{3}+125-10-\frac{1}{3}-1-2=\frac{428}{3}$
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями xy=-9 (y=-9/x) и x-y-10=0 (y=x-10)
$-S=\int_1^9{(x-10)dx}-\int_1^9{(-\frac{9}{x})dx}=(\frac{1}{2}x^2-10x)|_1^9+9lnx|_1^9=$
$=(\frac{81}{2}-90-\frac{1}{2}+10)+9ln9-9ln1=-40+9ln9=-20,225$
$S=20,225$
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями y=cosx при x от 0 до 3/2*pi

Из графика видно, что площадь графика от 0 до 3*PI/2 есть утроенная площадь графика от 0 до PI/2. $S=3*\int_0^{\frac{\pi}{2}}{cosxdx}=3*sinx|_0^{\frac{\pi}{2}}=3$
Тариф перевозки одной тонны груза составляет y (руб/км) и убывает с ростом пройденного расстояния x (км) по закону y=100/(x+2). Определить суммарную стоимость перевозки 1 тонны груза на расстояние в 500 км
$P=\int_0^{500}{\frac{100dx}{x+2}}=100\int_0^{500}{\frac{d(x+2)}{x+2}}=ln(x+2)|_0^{500}=$
$=ln502-ln2=5,525$

Хостинг от uCoz

МЕНЮ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ