МЕНЮ

• Главная

• Обо мне

• Мои увлечения

• Мои взгляды

• Мои достижения

• Мои статьи

• Мой дневник

• Написать письмо

КАК РЕШИТЬ КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

            Итак, у нас есть следующее уравнение:

z³+Bz²+Cz+D=0

            Вы можете спросить, почему перед z³ нет коэффициента A? Это все потому, что даже если бы он был - на него можно поделить левую и правую часть - и его не станет.
            Теперь мы делаем вот такую штуку. Мы вводим новую переменную x вместо z. Так как x не равно z (а если они равны, какой смысл их менять?), то очевидно, что x отличается от z на какую-то величину. Пусть эта величина будет I. То есть

z=x-I

            Величину I мы можем выбрать любой, какой хотим. Но, конечно, лучше ее выбрать такой, чтобы исчез какой-нибудь коэффициент. Но чему должно быть для этого равно I? Пока непонятно. Но будет понятно, если мы подставим второе уравнение в первое:

(x-I)³+B(x-I)²+C(x-I)+D=0

            Раскроем скобки. Кто не помнит как раскрывать квадраты и кубы - вам сюда . Получим:

(x³-3x²I+3xI²-I³)+B(x²-2xI+I²)+C(x-I)+D=0
x³-3x²I+3xI²-I³+Bx²-2BxI+BI²+Cx-CI+D=0

            Перераспределим члены, чтобы получилось уравнение относительно x:

x³+x²(B-3I)+x(3I²-2BI+C)+(D-CI+BI²-I³)=0

            Вот. Если теперь сделать B-3I=0, то у нас исчезнет x². Для этого нужно, чтобы I=1/3B, то есть z=x-1/3B
            Подставим это наше только что найденное значение I=1/3B

x³+x(1/3B²-2/3B²+C)+(D-1/3BC+1/9B³-1/27B³)=0
x³+1/3x(3C-B²)-1/27(9BC-27D-2B³)=0

            Вот. Уравнение уже гораздо проще. Но все равно кубическое. Будем думать дальше. Но прежде чем думать - обозначим коэффициенты новыми буквами - чтобы не писать каждый раз кучу букв.

p=1/3(3C-B²)
q=1/27(9BC-27D-2B³)

            Тогда наше уравнение упростится еще сильнее:

x³+px-q=0

            Теперь сделаем еще одну подстановку. Введем букву w, которая связана с нашей переменной x вот так:

x=w-p/3w

            Получим следующее:

(w-p/3w)³+pw-p²/3w-q=0
w³-3w²*p/3w+3w*p²/9w²-p³/27w³+pw-p²/3w-q=0
w³-wp+p²/3w-p³/27w³+pw-p²/3w-q=0
w³-p³/27w³-q=0

            Дальше: умножаем левую и правую части на w³

w³²-qw³-p³/27=0

            И обозначаем величину w³ скажем как O. Получаем:

O²-qO-1/27p³=0

            Все. Задача решена. Мы получили квадратное уравнение. Из него мы найдем О. Зная О, мы найдем w (так как O=w³), зная w найдем x (так как x=w-p/3w), зная x найдем z (так как z=x-1/3B).

Назад