МЕНЮ
Гостевая книга
Форум
СТРАННАЯ ЗАДАЧА О ЧИСЛАХ
Итак, задача: Математик R задумал два натуральных числа - каждое больше единицы, и сумма их меньше ста. Математику P он сообщил произведение данных чисел, а математику S - их сумму. Потом он предложил отгадать загаданные числа. После этого между математиками P и S произошел следующий диалог:
Математик P: Я не могу сказать, что это за числа
Математик S: Я заранее знал, что вы не сможете
Математик P: А ведь тогда я их знаю!
Математик S: А тогда и я их знаю!
Попробуйте и вы отгадать, что это за числа.
Решение
Пункт 1: Обозначим наши числа p и q. Какие они могут быть? Во-первых, каждое больше 1 (или, что тоже самое - больше или равно 2). Каждое из них меньше или равно 97 (так как если бы хотя бы одно было 98, а второе минимум 2 - сумма была бы уже 100, а она меньше). И их сумма больше или равна 4 (если каждое число - 2), но меньше или равна 99 (по условию):
Пункт 2: Математик P сказал что он не знает числа. А когда он мог бы сразу их назвать, зная произведение? Когда произведение раскладывается на два простых числа. Скажем, если бы ему сказали 49 - он сразу бы сказал, что загадали два числа 7. Потому что по другому никак. А вот если бы ему сказали 48 - тут он действительно отгадать не может - либо 12*4, либо 6*8, либо 2*24. Следовательно мы можем сказать, что произведение не раскладывается однозначно на два числа, удовлетворяющие нашим условиям
Пункт 3: Математик S сказал что он знал, что P не угадает. Почему? Математик S знает только сумму. Например, если ему сказали 25, числа могут быть 2+23, 3+22, 4+21 и т.д. Он может взять все варианты и проверить произведение этих чисел. Если хотя бы в одном варианте разложения число однозначно можно разложить на два, то такая сумма нам не подходит, потому что P мог бы ее угадать, а мы точно сказали что не сможет ни при каких условиях. Например, ему не могли сказать число 14, потому что вполне могли бы задумать числа 7 и 7, и P сразу бы их отгадал. Следовательно мы не могли бы утверждать что заранее знали, что он не отгадает.
Пункт 4: Отсюда вытекает, что сумма наших чисел нечетная. Потому что любое четное число менее ста всегда можно разложить на сумму двух простых чисел. Это утверждение называется "Гипотеза Эйлера". Она не доказана до сих пор (поэтому и называется "Гипотеза"), но она проверена вручную уже гораздо дальше, чем число 100 и всегда работает. Следовательно мы можем ей воспользоваться. Итак, сумма загаданных чисел нечетна
Пункт 5: Далее. Кроме того, что сумма нечетна, мы можем доказать еще один факт. Число, равное "нашей сумме минус 2" - не может быть простым числом. Потому что тогда мы можем представить нашу сумму (обозначим ее s) как s=2+(s-2). И получим что оба числа простые - и 2, и s-2. Это позволяет нам оставить для суммы следующие варианты: 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51, 53,57,59,63,65,67,71,77,79,83,87,89,93,95,97. Число 19 (например) мы выкинули, потому что как указано выше его можно представить как 2+17, где и 2 и 17 - простые числа.
Пункт 6: Предположим, что сумма больше или равна 55. Попробуем тогда разложить сумму в виде s=(s-53)+53. Так как s больше или равно 55, то s-53 больше или равно двум, как и положено по условию. Тогда произведение чисел будет (s-53)*53. Так как 53 - простое число, то это произведение можно разложить на множители, и один из них будет 53*D. D точно равно 1, так как даже если D=2, то одно из чисел уже больше ста. Следовательно число однозначно раскладывается на множители 53 и s-53. А если оно однозначно раскладывается на множители - у нас такого быть не может. Итак, наша сумма менее 55. То есть остаются варианты 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53.
Пункт 7: Из этого списка можно также выбросить число 51. В самом деле, его можно разложить как 51=17+34, а произведение 17*34=578 раскладывается на 17*34 однозначно. Можно конечно его еще разложить на 2*289, но у нас условие что каждое число меньше ста. Итак, наша сумма не равна 51. Остаются варианты 11,17,23,27,29,35,37,41,47,53.
Пункт 8: Число 35 можно представить как 31+4. Произведение 4*31=124 можно разложить только как 4*31, или как 2*62, но во втором случае сумма чисел больше 55, а мы доказали, что этого быть не может. Следовательно число однозначно раскладывается на 4 и 31, а следовательно его загадать не могли. Итак, наша сумма не 35
Пункт 9: Похожим образом можно выкинуть все числа большие 35: 37 можно представить как 31+6, произведение 31*6=186 раскладывается на 2*93 (сумма больше 55), 3*62 (сумма больше 55), либо как 6*31 - опять однозначно. Число 41 можно представить как 31+10, произведение 31*10=310 раскладывается на 2*155 (сумма больше 55), 5*62 (сумма больше 55), либо 31*10 - то есть опять однозначно. Проведите эту же операцию для чисел 47 и 53 и убедитесь, что они тоже не подходят. Для суммы остаются числа 11,17,23,27,29
Пункт 10: Число 11 тоже можно выкинуть, так как его можно представить как 11=4+7, число 4*7=28 можно разложить на 2 и 14, либо на 4 и 7. Но если бы это были 2 и 14 - то их сумма была бы 16, а это число четное, чего быть не может. Остается всего один вариант, и математик P угадал бы числа. Следовательно наша сумма не может быть 11. Кроме того, она не может быть 23 и 27 (по этой же причине). Остаются варианты 17 и 29.
Пункт 11: Если бы было загадано число 29, то его можно было бы разложить как 16+13. А математик P услышав произведение 16*13=208, понял, что его можно разложить на 2*104 (сумма больше 55), 4*52 (сумма больше 55), 8*26 (сумма четная) или 16*13 (подходит). То есть остается всего один вариант, и он был бы угадан. Итак, сумма наших чисел 17. Это понял первый математик и воскликнул - "Я тогда их знаю!". Ведь он узнал произведение чисел и сумму - и логично вычислил каждое.
Пункт 12: А что же второй математик? Итак, сумма чисел 17. Примем что первое число больше второго (в принципе ни сумма ни произведение от перемены мест не изменятся), получим варианты ответов 2+15, 3+14, 4+13, 5+12, 6+11, 7+10, 8+9. Проверим по очереди. Если были числа 2 и 15, второй математик не смог бы узнать числа, так как 2*15=30 можно разложить как на 2 и 15, так и на 5 и 6. И там, и там сумма нечетна и менее 55. Если числа были 3 и 14, то 3*14=42 можно было бы разложить на 2*21 и на 3*14. И там и там сумы нечетны и менее 55. А вот если бы числа были 4 и 13, то их произведение 52 можно разложить только на 4*13. А 2*26 нельзя (сумма четная). Итак, числа были 4 и 13.