МЕНЮ
Гостевая книга
Форум
ЗАЧЕМ НУЖНЫ ПРОИЗВОДНЫЕ
На первый взгляд производные нужны чтобы забивать головы и без того
перегруженных школьников, но это не так. Рассмотрим машину, которая
ездит по городу. Иногда стоит, иногда едет, иногда тормозит, иногда
разгоняется.
Допустим она проездила 3 часа и проехала 60 километров. Тогда по
формуле из начальных классов мы поделим 60 на 3 и скажем, что она
ехала со скоростью 20 км/ч. Правы ли мы? Ну, отчасти, правы. Мы
получили "среднюю скорость". Но
толку нам с ней? Машина может ехала с этой скоростью 5 минут, а все
остальное время либо ехала медленнее, либо быстрее. Что же делать?
А почему собственно нам обязательно нужно знать скорость за все
3 часа маршрута? Давайте разобъем маршрут на 3 части по одному часу
и посчитаем скорость на каждом участке. Давайте. Допустим получится
10, 20 и 30 км/ч. Вот. Ситуация уже более понятна - машина ехала
в последний час быстрее чем в предыдущие.
Но это опять в среднем. А вдруг она просто в последний час сначала
полчаса ехала медленно-медленно, а потом вдруг разогналась и
стала ехать быстро-быстро? Да, может быть и так.
Как мы видим, чем больше мы разобьем наш промежуток в 3 часа - тем
точнее получим результат. Но нам не нужен результат "точнее" - нам
нужен совершенно точный результат. Значит и разбивать время надо
на бесконечное число частей. А сама часть - следовательно будет
бесконечно маленькой.
Если мы поделим расстояние, которое машина проехала за наш бесконечно
маленький промежуток времени на это самое время, то тоже получим
скорость. Но уже не среднюю, а "мгновенную". И таких мгновенных
скоростей тоже будет бесконечно много.
Если вы поняли все вышеизложенное - то вы поняли смысл производной.
Производная - это быстрота изменения чего-либо. Например в нашем
случае скорость - это быстрота изменения "проеханного расстояния"
с течением времени. А может быть "быстрота изменения температуры
с изменением долготы в сторону севера". Или "быстрота исчезания
конфет из вазы на кухне". В общем если есть что-то,
некая величина "Y", которая зависит от некоторой величины "X",
то скорее всего, есть и производная которая записывается dy/dx.
И она как раз показывает - как изменяется величина y при бесконечно
малом изменении величины x - как у нас расстояние изменялось при
бесконечно малом изменении времени.