Сайт-визитка

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Довольно часто меня просят помочь в решении какой-либо задачи. И довольно часто по аське или майл-агенту. Но формулы по ним не передашь. Вот я и буду публиковать решения здесь. Авось кому поможет:

$\int{(\frac{x^2}{x^2-1}+\frac{3}{sin^2x})dx}=\int{\frac{x^2-1+1}{x^2-1}dx-3ctgx=\int{1+\frac{1}{x^2-1}dx-3ctgx=$
$=\int{(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1})dx+x-3ctgx=...$
$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}=\frac{A(x+1)+B(x-1)}{x^2-1}=\frac{Ax+A+Bx-B}{x^2-1}=\frac{x(A+B)+(A-B)}{x^2-1}$
Имеем два уравнения:
Первое: A+B=0, из которого A=-B
Второе: A-B=1, или -B-B=1, B=1/2, A=-1/2
$...=-\frac{1}{2}\int{(\frac{1}{x-1}-\frac{B}{x+1})dx+x-3ctgx=-\frac{1}{2}ln\frac{x-1}{x+1}+x-3ctgx+C$
$\int{(\frac{3}{8}*x\sqrt{x}+\frac{5}{x^2+1})dx=\int{(\frac{3}{8}*x^{3/2})dx+5arctgx=\frac{3}{8}\frac{x^{5/2}}{5/2}+5arctgx+C=$
$=\frac{5}{20}x^{5/2}+5arctgx+C$
$\int{(\frac{15}{8x+5}-sin\frac{x+3}{2})=\int{\frac{15}{8x+5}dx}-\int{sin\frac{x+3}{2}dx}=$
$=\frac{15}{8}\int{\frac{d(8x+5)}{8x+5}}-2\int\sin(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})d(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})}=$
$=\frac{15}{8}ln|8x+5|+2cos(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})+C$
$\int{\frac{5dx}{(x-3)^2+9}}=...$
Обозначим y=x-3, x=y+3, dx=dy
$...=\int{\frac{5dy}{y^2+9}}=\frac{5}{3}arctg(\frac{1}{3}y)+C=\frac{5}{3}arctg(\frac{1}{3}(x-3))+C$
$\int{(20x^4-14x)*\sqrt[3]{4x^2-7x^2+12}dx}$
Данный интеграл невозможно взять в элементарных функциях. Скорее всего вы просто неправильно его переписали, потому что под корнем не может стоять 4x^2-7x^2 - их сразу можно сократить
$\int{\frac{dx}{tg5x}}=\int{ctg5xdx}=\frac{1}{5}\int{ctg5xd5x}=\frac{1}{5}\int{\frac{cos5xd(5x)}{sin5x}}=\frac{1}{5}\int{\frac{d(sin5x)}{sin5x}}=$
$=\frac{1}{5}ln|sin5x|+C$
$\int{\frac{arcctg\sqrt{x}}{(1+x)*\sqrt{x}}dx=...}$
Обозначим y=корень из x, x=y^2, dx=2ydy
$...=\int{\frac{arcctgy}{(1+y^2)*y}2ydy=2\int{\frac{arcctgy}{(1+y^2)}dy=-2\int{arcctgy}d(arcctgy)=-arcctg^2y+C=}$
$=-arcctg^2\sqrt{x}+C$
$\int{\frac{arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx=...$
Обозначим y=корень из x, x=y^2, dx=2ydy
$...=\int{\frac{arcsiny}{\sqrt{1-y^2}}2ydy=2\int{y*arcsinyd(arcsiny)}=...$
Обозначим z=arcsiny, y=sinz, dy=coszdz
$...=2\int{zsinzdz}=2|\begin{array}{cccc}u=z&du=dz\\dv=sinzdz&v=-cosz\end{array}|=-2zcosz+2\int{coszdz}=$
$=-2zcosz+2sinz+C=-2arcsiny*cosarcsiny+2sinarcsiny+C=$
$=-2arcsiny*\sqrt{1-y^2}+2y+C=-2arcsin\sqrt{x}*\sqrt{1-x}+2\sqrt{x}+C$
$\int{x^2cosxdx}=|\begin{array}{cccc}u=x^2&du=2xdx\\dv=cosxdx&v=sinx\end{array}|=x^2sinx-2\int{xsinxdx}=$
$=x^2sinx-2|\begin{array}{cccc}u=x&du=dx\\dv=sinxdx&v=-cosx\end{array}|=x^2sinx+2xcosx-2\int{cosxdx}=$
$=x^2sinx+2xcosx-2sinx+C$
Определить запас товаров на складе, образуемый за ??? дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t)=3t^2+3t+4
Собственно для этого нужно взять определннный интеграл с пределами от 0 до количества дней. К сожалению число дней было написано неразборчиво, поэтому найдем скажем для трех дней
$\int_0^3{(3t^2+3t+4)dt}=t^3+\frac{3}{2}t^2+4t|_0^3=27+\frac{27}{2}+12=52,5$
То есть через 3 дня на складе был запас товаров 52,5 единиц

Хостинг от uCoz

МЕНЮ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ