Сайт-визитка

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Довольно часто меня просят помочь в решении какой-либо задачи. И довольно часто по аське или майл-агенту. Но формулы по ним не передашь. Вот я и буду публиковать решения здесь. Авось кому поможет:

Решить уравнение .
Решить уравнение .
Решить неравенство
$log_{\frac{x+1}{x+7}}0,7>0$
Чтобы выяснить, чему равна дробь в логарифме, построим график y=log_x0,7

Итак, мы видим, что, чтобы получилось значение больше нуля, надо, чтобы наша дробь была больше нуля, но меньше единицы
$\frac{x+1}{x+7}>0$
Это возможно либо когда и числитель и знаменатель >0 (это будет при x>-1), либо когда они оба меньше нуля (при x<-7). Если у нас x<-7, то дробь наша меньше единицы быть не может, а вот при x>-1 она меньше единицы всегда (и будет к ней стремиться)

Подтвердим это графиком функции y=(x+1)/(x+7)

Итак, ответ: x>-1
Найти произведение корней уравнения $\frac{1}{12}lg^2\frac{x}{20}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}lg\frac{x}{20}$
Обозначим логарифм за новую переменную y
$\frac{1}{12}y^2=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}y$
Умножим обе части на 12 и перенесем все в одну часть
$y^2+3y-4=0$
$D=b^2-4ac=9+16=25$
$y_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-5}{2}=-4$
$y_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+5}{2}=1$
Откуда имеем два уравнения:
$1)lg\frac{x}{20}=-4$
$\frac{x}{20}=10^{-4}=0,0001$
$x=20*0,0001=0,002$
$2)lg\frac{x}{20}=1$
$\frac{x}{20}=10^{1}=10$
$x=20*10=200$

Произведение корней уравнения будет 0,002*200=0,4
Написать уравнения, характерные для оксида и гидроксида натрия. Для реакции ионного обмена написать уравнение в краткой ионной форме.
1) Характерная реакция для основных оксидов (каким является оксид натрия) - образование гидроксидов:
Na₂O+H₂O = 2NaOH

2) Кроме того основные оксиды реагируют с кислотными с образованием солей
P₂O₅+Na₂O = 2Na₃PO₄

3) Характерная реакция для основных гидроксидов (именно такой гидроксид натрия) - реакция с кислотами с образованием солей
2NaOH + H₂SO₄ = Na₂SO₄ + 2H₂O
2Na⁺+2OH^-+2H⁺+SO₄^2- = 2Na⁺+SO₄^2- + 2H₂O
2OH^-+2H⁺ = 2H₂O

4) И еще гидроксид натрия реагирует с кислотными оксидами:
SO₂+NaOH_(разб) = NaHSO₃
SO₂+Na⁺+OH^- = Na⁺ + HSO₃^-
SO₂+OH^- =HSO₃^-
Вычислить: $16^{log_{81}3+log_2\sqrt[4]{3}}$
$16^{log_{81}3+log_2\sqrt[4]{3}}=16^{\frac{ln3}{ln81}+\frac{ln\sqrt{\sqrt{3}}}{ln2}}=16^{\frac{1,099}{4,394}+\frac{0,275}{0,693}}=16^{0,250+0,397}=16^{0,647}=6,013$
Решить систему уравнений
1) Из первого уравнения (по свойствам логарифма) можно получить что x-y=2^1=2, или x=2+y.
2) Подставим это во второе уравнение:
$2^{2+y}3^{1+y}=72$
Чисто логически догадываемся, что
$72=8*9=2^3*3^2=2^{2+1}*3^{1+1}$
Откуда получаем, что y=1. Следовательно x=2+y=3.
Решите уравнение: $25^x=\frac{1}{5}$
$(5^2)^x=5^{-1}$
$5^{2x}=5^{-1}$
$2x=-1$
$x=-\frac{1}{2}$
Решите уравнение: $3^{x^2-x-2}=81$
$3^{x^2-x-2}=3^4$
$x^2-x-2=4$
$x^2-x-6=0$
$D=b^2-4ac=1-4*1*(-6)=25$
$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{1-5}{2}=-2$
$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{1+5}{2}=3$
Решите уравнение: $4^{x+1}+4^x=320$
$4*4^x+4^x=320$
$5*4^x=320$
$4^x=64$
$4^x=4^3$
$x=3$
Изобразите график функции: $y=(\frac{1}{\pi})^x$

Объяснение: так как 1/3,14<1, следовательно чем больше степень, тем больше график будет стремиться к нулю, и, соответственно, если степень отрицательна, то наоборот - будет стремиться к 1/0, то есть к +бесконечности.
Решите неравенство $(\frac{1}{3})^{2x}-6*(\frac{1}{3})^x-27\leq0$
Обозначим одну третью в степени x за новую переменную y $y^2-6y-27\leq0$
Это парабола и ветви ее направлены вверх, так как коэффициент при a больше нуля. Следовательно она будет меньше либо равна нуля между точками корня квадратного уравнени $y^2-6y-27=0$
$D=b^2-4ac=36-4*1*(-27)=144$
$y_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{6-12}{2}=-3$
$y_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{6+12}{2}=9$
Теперь вернемся к исходному уравнению $(\frac{1}{3})^x\geq-3$
Это неравенство выполняется всегда, так как положительное число в любой степени будет положительным.
Второе условие $(\frac{1}{3})^x\leq9$
$3^{-x}\leq3^2$
$-x\leq2$
$x\geq-2$
Подтвердим данный результат графиком исходной функции
Найдите область значений функции $f(x)=1-(\frac{1}{2})^x$
Функция f(x) может принимать значения сколь угодно отрицательные (при отрицательных x, дробь увеличивается до бесконечности), а из положительных может принимать значения только до +1, когда x стремится к +бесконечности, а дробь, соответственно, к нулю. Так как отрицательной она быть не может, то и f(x) не может принимать значения больше 1.
Итого: Область значений f(x) - от -бесконечности до +1
Докажем графиком:
Решите неравенство $0,2^{\frac{x^2+2x+3}{x^2-2x}}>25$
$\frac{1}{5}^{\frac{x^2+2x+3}{x^2-2x}}>5^2$
$\frac{1}{5}^{\frac{x^2+2x+3}{x^2-2x}}>{\frac{1}{5}^{-2}}$
$\frac{x^2+2x+3}{x^2-2x}}<-2$
$\frac{x^2+2x+3}{x(x-2)}}<-2$
Проанализируем данную дробь. Квадратное уравнение в числителе не имеет корней (так как D=b²-4ac=4-12<0), следовательно числитель всегда имеет один знак (в данном случае положительный - проверим подстановкой нуля вместо x). Знаменатель же положителен при любом x кроме диапазона (0;2). Из этого мы можем сделать вывод, что наше решение (если оно, конечно, существует), можеть быть только в данном диапазоне, так как если и числитель и знаменатель будут положительны, их частное никак не может быть меньше отрицательного числа. Итак, так как наш знаменатель отрицателен, меняем знак.
$x^2+2x+3>-2x^2+4x$
$3x^2-2x+3>0$
Данное неравенство выполняется всегда, так как квадратное уравнение опять же не имеет решений, и всегда имеет один знак (подстановкой нуля убеждаемся, что положительный) В результате мы получили, что наше неравенство верно во всем диапазоне (0;2)
Найдите значение выражения x²+x, где x-корень уравнения $9^x-3^x=702$
Выражение слева при x<0 очень близко к нулю, и, следовательно нам не подходит. Если x>0, то при увеличении x, растет как 9^x, так и 3^x, но первое гораздо быстрее, следовательно и их разность быстро возрастает. Посчитаем значения функции для x=0,1,2,3.
$9^0-3^0=1-1=0$
$9^1-3^1=9-3=6$
$9^2-3^2=81-9=72$
$9^3-3^3=729-27=702$
Мы видим, что при x=3 наше уравнение имеет решение. И более того, мы можем быть уверены, что это решение единственное, так как если мы и дальше будем увеличивать x, значение выражения будет все более увеличиваться.
$x^2+x=3^2+3=9+3=12$
Решите уравнение $7*(4*4^{x+y}+4^{-x}:4^{y+1})=40*4^x*4^y-2,5$
где $y=\sqrt{x+0,5}$
Решение:
$7*(4*4^{x+y}+4^{-x}:4^{y+1})=40*4^x*4^y-2,5$
$7*(4^{x+y+1}+4^{-x-y-1})=10*4^{x+y+1}-2,5$
$7*4^{x+y+1}+7*4^{-x-y-1}=10*4^{x+y+1}-2,5$
$7*4^{-x-y-1}=3*4^{x+y+1}-2,5$
$3*4^{x+y+1}-7*4^{-x-y-1}=2,5$
Обозначим первую степень как z, вторая, соответственно, будет 1/z
$3*z-7/z=2,5$
$3*z^2-7=2,5z$
$6*z^2-5z-14=0$
$D=b^2-4ac=25-4*6*(-14)=361$
$z_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{5-19}{12}=-\frac{14}{12}$
$z_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{5+19}{12}=2$
Первый корень не подходит, так как четыре в любой степени не может стать меньше нуля. Следовательно берем второй корень. $4^{x+y+1}=2$
$2^{2x+2y+2}=2^1$
$2x+2y+2=1$
$2x+\sqrt{x+0,5}+2=1$
$\sqrt{x+0,5}=-(1-2x)$
$x+0,5=1+4x+4x^2$
$4x^2+3x+0,5=0$
$8x^2+6x+1=0$
$D=b^2-4ac=36-4*8*1=4$
$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6-2}{16}=-0,5$
$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6+2}{16}=-0,25$
Проверкой убеждаемся, что подходит только первый корень. Если мы берем второй и подставляем в уравнение
$\sqrt{x+0,5}=-(1-2x)$
То получим слева 0,5, а справа -0,5, что неправильно.
Итак, наше уравнение имеет один корень x=-0,5
Решите уравнение $2^{|cosx-2|}=8}$
$2^{|cosx-2|}=2^3}$
$|cosx-2|=3}$
Так как cos(x) может принимать значения только от -1 до +1, то в любом случае cos(x)-2 будет меньше нуля. Следовательно |cos(x)-2|=-(cos(x)-2)
$2-cosx=3$
$-cosx=1$
$cosx=-1$
$x=\pi+2*\pi*n$
где n принаджежит Z

Хостинг от uCoz

МЕНЮ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ