МЕНЮ

• Главная

• Обо мне

• Мои увлечения

• Мои взгляды

• Мои достижения

• Мои статьи

• Мой дневник

• Написать письмо

РАЗМЕР - ПОЧЕМУ ЕСТЬ ПЛОЩАДЬ, НО НЕТ ОБЪЕМА?

            Центральным аспектом объектов является их размер. Любой малыш, дошкольник, каждый человек учится использовать свойства размера и пространства в своих действиях. Так как взрослым нужна точность, то с определением расстояния как разницы координат, можно точно так же определить и длину? Потребовались сотни лет, чтобы понять, что это не так. Некоторые исследования в физике и метматике пришли в противоречие.
            Физические противоречия начались с очень простого вопроса, заданного Льюисом Ричардсоном - какая длина западного побережья Великобритании?
            Следуя по береговой линии на карте, используя одометр (устройство, показанное на рисунке 24), Ричардсон обнаружил, что длина l береговой линии зависит от масштаба (скажем 1:10000 или 1:500000) по формуле:

l=l₀s^0.25

            (Ричардсон получал и другие числа для других берегов). Число l₀ это длина в масштабе 1:1. Главный результат этого в том, что чем больше карта - тем больше будет длина береговой линии. А что будет, если мы сделаем размер карты больше размера оригинала? Длина будет увеличиваться бесконечно. Может береговая линия иметь бесконечную длину? Да, может. Вообще, математики знают множество таких кривых, они называются фракталы. Их существует бесконечное множество, и рисунок 25 показывает один из примеров. Можете ли вы соорудить еще какой-нибудь?

Рисунок 23. Механические (штангенциркуль, микрометр) и оптические (глаза, лазерный измеритель) измерители длины и расстояния

            У длины есть и другие странные свойства. Итальянский математик Джузеппе Витали первым открыл, что можно разрезать линию длиной 1 на части. из которых (путем сдвига) можно собрать линию длины 2. Можете ли вы найти такое разделение (с подсказкой, что это работает только при разделении на бесконечно много частей).

Таблица 11: Устройства измерения длины в биологических и инженерных системах

Измерение	Устройство	Диапазон
Измерение формы тела (длины пальцев, положения глаз) у человека	Мускульные сенсоры	от 0,3 мм до 2 м
Измерение расстояния до объекта у человека	Стереоскопическое зрение	от 1 до 100 м
Измерение расстояния до объекта у человека	Эффект эхо	от 0,1 до 1000 м
Измерение пройденного расстояния у муравьев	Подсчет шагов	до 100 м
Измерение расстояния полета у пчел	Глаза	до 3 км
Измерение расстояния у акул	Карта магнитного поля	до 1000 км
Измерение расстояния до жертвы у змей	Инфракрасный сенсор	до 2 м
Измерение расстояния до жертвы у летучих мышей, дельфинов и китов	Сонар	до 100 м
Измерение расстояния до объекта лазером	Отражение света	от 0,1 метра до 400 мегаметров
Измерение расстояния до объекта радаром	Эхо	от 0,1 метра до 50 километров
Измерение расстояния до объекта	Интерферометр	От 0,5 микрометров до 50 километров
Измерение расстояния до звезды, галактики или квазара	Падение интенсивности	До 125 йоттаметров
Измерение размера микрочастицы	Ускоритель	До 10-18метров

Рисунок 24. Курвиметр или одометр (фотография Frank Mueller)

Рисунок 25. Фрактал - самоподобная кривая бесконечного размера (самый правый рисунок) и процесс его создания

            Суммируя все, что мы сказали, длина хорошо определена для прямых или достаточно простых кривых линий, но не для линий из бесконечного числа частей. Поэтому мы избегаем фракталов и других странных кривых в дальнейшем, и особенно тщательно проводим рассуждения, когда говорим о бесконечно малых сегментах. Это будет наше соглашение на первые две части нашего путешествия, и не будем о них забывать. В последней части нашего путешествия мы вновь вернемся к этому допущению.
            Вообще, все эти проблемы меркнут по сравнению со следующей. Чаще всего площадь и объем определяются, используя длину. Вы думаете это просто? Вы неправы, хотя это мнение постоянно распространяют школы по всему миру. Чтобы определить площадь и объем с достаточной точностью, нужно позаботиться о двух свойствах: значения должны быть аддитивны, то есть для конечных и бесконечных наборов объектов, их общий объем и общая площадь должны быть равны сумме объемов и площадей каждого элемента набора. Кроме того, если кто-либо разрежет наш объект на куски и разместит кусочки в другом порядке - то значения останутся теми же. Можно ли определить концепции площади и объема таким образом?
            Для площадей на плоскости, можно поступить следующим стандартным путем - определить площадь прямоугольника со сторонами a и b как A=ab, а так как любой многоугольник может быть разделен на прямоугольники конечным числом прямых разрезов, то можно определить значение площади для всех многоугольников. Затем можно определить площадь для криволинейных фигур как число, к которому стремится сумма бесконечного числа многоугольников. Этот метод называется интеграцией.
            Однако интеграция не позволяет нам определить площадь для некоторых фигур (например представьте себе фигуру, ограниченную снизу осью OX, а сверху графиком функции Дирихле: функция равна 1 для каждого трансцедентного числа и 0 для нетрансцедентного). Для более полного определения нужны более сложные методы. Они были открыты в 1923 году известным математиком Стефаном Банахом. Он доказал, что можно определить площадь для любого набора точек, даже если граница не проста, а очень сложна, например является фракталом. Сегодня эта обобщенная концепция площади, технически называемая "конечное аддитивное изометрически инвариантное измерение" называется измерением Банаха в его честь. Математики резюмировали это, сказав, что так как в двух измерениях существует измерение Банаха, то существует способ ввести концепцию площади, которая бы нам подходила, для любого набора точек.
            Что же мы получим в трехмерном пространства, то есть для объема? Мы можем пойти тем же путем, определив объем паралелепипеда со сторонами a, b и c как V=abc. Но тогда нам встретится первая проблема - не любой многогранник можно разбить на паралелепипеды прямыми разрезами. Это ограничение открыл в 1900 и 1902 году Макс Ден. Он открыл, что возможность этого зависит от двугранных углов.

Рисунок 26. Многогранник и один из его двугранных углов (Luca Gastaldi)

            Если не смотреть на проблемы, которую озвучил Ден, то можно определить концепцию объема длля многогранника. Вообще, для всех "не очень сложных" форм мы снова можем использовать интеграцию для определения их объема.
            А если нам нужны "общие" формы и разрезы в трех измерениях, а не только "не очень сложные"? Тогда мы останавливаемся на знаменитой теореме (или парадоксе) Банаха-Тарского. В 1924, Стефан Банах и Альфред Тарский доказали, что можно разрезать одну сферу на пять частей, которые можно соединить снова, и мы получим две сферы такого же размера. Что еще хуже, другая версия теоремы говорит, что можно взять любые две сферы и превратить одну в другую конечным числом разрезов. Вообще, возможно разрезать мяч, чтобы получилась Земля, или наоборот. Размер не считается! Объем, поэтому, не является полезной концепцией.
            Теорема Банаха-Тарского поднимает два вопроса: Первый - а нельзя ли применить ее скажем к золоту или хлебу? Это решило бы много мировых проблем. И второй - а можно ли ее применить к пустому пространству? Оба вопроса будут рассмотрены позже - каждый вопрос имеет свои специальные последствия. Пока же мы уберем эту противную теорему, ограничив свой интерес только "не очень сложными" формами. С данным ограничением, объемы материи и пустого пространства являются аддитивными, и их можно как угодно делить на части без парадоксов. Естественно, разрезы, которые требуются по парадоксу Банаха-Тарского не являются ровными - обычным ножом их не сделать, так как они требуют бесконечно много бесконечно точных разрезов, сделанных бесконечно острым ножом. Такого ножа просто не существует в природе. Но, несмотря на это, мы запишем себе на подкорку, что размер объекта или размер пустого места - это непростое количество - и нам нужно быть осторожным, когда мы говорим о нем.

 |  Назад |  Содержание |  Вперед |